已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2016-09-19 80

问题已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA^T是对称阵，并且AA^T正定的充要条件是r(A)=m．

选项

答案由(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称阵．必要性若AA^T正定，r(AA^T)=m≤r(A)，又r(A_m×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A^TX=0只有零解，故对任意X≠0，均有A^TX≠0，故 X^TAA^TX=(A^TX)^T(A^TX)＞0，即AA^T正定．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/zkT4777K

考研数学三

相关试题推荐

考虑一家商场某日5位顾客购买洗衣机的类型(直筒或滚筒)．如果最多一位顾客购买滚筒洗衣机的概率为0．087，那么至少两位顾客购买滚筒洗衣机的概率是多大?
设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则()．
设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为：其中，K为r×s矩阵，且向量组A线性无关，证明：向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r．
证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关，并计算积分值：
求下列参数方程给出的曲面的面积：(1)x＝ucosv，y＝usinv，z＝v，0≤u≤1，0≤v≤π；(2)x＝uv，y＝u＋v，z＝u－v，u2＋v2≤1
设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求：A2．
设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．
设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FY(x)、FY(y)，则Z＝min(X，Y)的分布函数是()．
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维．林德伯格(Levy-Lindherg)中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn

随机试题

在低温下具有优良的冲击韧度及断裂性的焊条是_______焊条。
将光标快速移动到到文档首部的操作是________。
慢性淋巴细胞白血病的主要治疗原则正确的是
血压骤然升高，剧烈头痛，抽搐，昏迷的患者，诊断最可能属下列哪项
在商事仲裁中，下列关于仲裁中的管辖法院，说法正确的是：()
下列数字高程模型质量检查内容中，不属于空间参考系检查项的是()。
下列有关非同一控制下控股合并的处理方法中，正确的有()。
下列各句中有歧义的一句是()。
症状自评量表包含的因子数是()。
AstudyfoundthattheradiationfromCTscans—thetestsregularlyusedto【C1】______internalinjuriesorsignsofcancer—islike

最新回复(0)

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

考研数学三

考虑一家商场某日5位顾客购买洗衣机的类型(直筒或滚筒)．如果最多一位顾客购买滚筒洗衣机的概率为0．087，那么至少两位顾客购买滚筒洗衣机的概率是多大?

设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则()．

设向量组B：β1，β2，…，βr能由向量组A：α1，α2，…，αs线性表示为：其中，K为r×s矩阵，且向量组A线性无关，证明：向量组B线性无关的充要条件是矩阵K的秩r(K)=r．

证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关，并计算积分值：

求下列参数方程给出的曲面的面积：(1)x＝ucosv，y＝usinv，z＝v，0≤u≤1，0≤v≤π；(2)x＝uv，y＝u＋v，z＝u－v，u2＋v2≤1

设向量α=(α1，α2，…，αn)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求：A2．

设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．

设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FY(x)、FY(y)，则Z＝min(X，Y)的分布函数是()．

设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维．林德伯格(Levy-Lindherg)中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn

在低温下具有优良的冲击韧度及断裂性的焊条是_______焊条。

将光标快速移动到到文档首部的操作是________。

慢性淋巴细胞白血病的主要治疗原则正确的是

血压骤然升高，剧烈头痛，抽搐，昏迷的患者，诊断最可能属下列哪项

在商事仲裁中，下列关于仲裁中的管辖法院，说法正确的是：()

下列数字高程模型质量检查内容中，不属于空间参考系检查项的是()。

下列有关非同一控制下控股合并的处理方法中，正确的有()。

下列各句中有歧义的一句是()。

症状自评量表包含的因子数是()。

AstudyfoundthattheradiationfromCTscans—thetestsregularlyusedto【C1】______internalinjuriesorsignsofcancer—islike

设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA｜=__________．