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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
admin
2015-09-14
93
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形；
选项
答案
当a=0时， [*]， 计算可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
2
=0．解齐次线性方程组 (2E—A)x=0，得A的属于λ
1
=2的线性无关的特征向量为 η
1
=(1，1，0)
T
，η
2
=(0，0，1)
T
解齐次线性方程组(0E一A)x=0，得A的属于λ
3
=0的线性无关的特征向量为 η
3
=(一1，1，0)
T
易见η
1
，η
2
，η
3
两两正交。将η
1
，η
2
，η
3
单位化得A的标准正交的特征向量为 [*] 取Q=(e
1
，e
2
，e
3
)，则Q为正交矩阵。 令xQ=y，得f的标准形为 f(x
1
，x
2
，x
3
)=λ
1
y}+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
一2y
1
2
+2y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/zeU4777K
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考研数学三
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