2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2015-09-14  71
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
选项
答案当a=0时， [*]， 计算可得A的特征值为λ1=λ2=2，λ2=0．解齐次线性方程组 (2E—A)x=0，得A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为 η1=(1，1，0)T，η2=(0，0，1)T 解齐次线性方程组(0E一A)x=0，得A的属于λ3=0的线性无关的特征向量为 η3=(一1，1，0)T 易见η1，η2，η3两两正交。将η1，η2，η3单位化得A的标准正交的特征向量为 [*] 取Q=(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵。 令xQ=y，得f的标准形为 f(x1，x2，x3)=λ1y}+λ2y22+λ3y32一2y12+2y22。
解析
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考研数学三

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