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已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。
已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。
admin
2021-01-25
77
问题
已知A=
，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。
选项
答案
(Ⅰ)A
T
A=[*]，由r(A
T
A)=2，可得 [*]=(a+1)
2
(a
2
+3)=0， 可知a=一1。 (Ⅱ) f=x
T
A
T
Ax=(x
1
，x
2
，x
3
)[*] =2x
1
2
+2x
2
2
+4x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
3
x
3
， 令矩阵 [*] 解得B矩阵的特征值为λ
1
=0；λ
2
=2；λ
3
=6。 对于λ
1
=0，解(λ
1
E—B)x=0得对应的特征向量为η
1
=[*]； 对于λ
2
=2，解(λ
1
E—B)x=0得对应的特征向量为η
2
=[*]； 对于λ
3
=6，解(λ
3
E—B)x=0得对应的特征向量为η
3
=[*]。 将η
1
，η
2
，η
3
单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y
2
2
+6y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/zVx4777K
0
考研数学三
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