设矩阵A=E-αβT，其中α，β是n维非零列向量，且A2=3E-2A，则βTα=______．

admin2018-07-22 84

问题设矩阵A=E-αβ^T，其中α，β是n维非零列向量，且A²=3E-2A，则β^Tα=______．

选项

答案4

解析因为A=E-αβ^T，其中α，β是N维非零列向量，且A²=3E-2A，所以A²=(E-αβ^T)(E-αβ^T)=E-αβ^T-αβ^T+αβ^Tαβ^T=E-2αβ^T+(β^Tα)αβ^T=E+(β^Tα-2)αβ^T ①
由已知A²=3E-2A得A²=3E-2(E-αβ^T)=E+2αβ^T ②
由①、②两式整理得，E+(β^Tα-2)αβ^T=E+2αβ^T，从而有(β^Tα-4)αβ^T=0，又因为α，β是n维非零列向量，所以αβ^T≠0；从而有β^Tα-4=0，即β^Tα=4．

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