2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵， α1＝[1，2，－2]T， α2＝[2，1，－1]T， α3＝[1，1，t]T 是线性非齐次方程组AX＝b的解向量，其中b＝[1，3，－2]T，则( )。

设A是三阶矩阵， α1＝[1，2，－2]T， α2＝[2，1，－1]T， α3＝[1，1，t]T 是线性非齐次方程组AX＝b的解向量，其中b＝[1，3，－2]T，则( )。

admin2015-11-16  68
问题 设A是三阶矩阵，
    α1＝[1，2，－2]T， α2＝[2，1，－1]T，  α3＝[1，1，t]T
是线性非齐次方程组AX＝b的解向量，其中b＝[1，3，－2]T，则(    )。
选项 A、t＝－1，必有r(A)＝1
B、t＝－1，必有r(A)＝2
C、t≠－1，必有r(A)＝1
D、t≠－1，必有r(A)＝2
答案C
解析 [解题思路]  令B＝[α1，α2，α3]，则
    AB＝[b，b，b]，r(AB)＝r([b，b，b])＝1。
    注意到t≠－1时，r(B)＝3，从而r(AB)＝r(A)＝1，也可由方程组AX＝b解的结构原理直接推出r(A)＝1。
   解一  将已知关系式Aαi＝b(i＝1，2，3)合并成一个矩阵等式：
A[α1，α2，α3]＝[Aα1，Aα2，Aα3]＝[b，b，b]＝，
令    B＝[α1，α2，α3]＝，
则    AB＝[b，b，b]。
    当t＝－1时，因B中第2，3行成比例，故r(B)＝2，这时由r(AB)＝1只能得到r(A)≥r(AB)＝1，(A)、(B)都不对，
    当t≠－1时，因r(B)＝3，故r(AB)＝r(A)＝1，仅(C)入选。
解二  B＝[α1，α2，α3]＝，
当t≠－1时，r(B)＝3，从而α1，α2，α3线性无关。
α1－α2，α2－α3是齐次方程AX＝0的两个线性无关的解，则n－r(A)≥2，即3－r(A) ≥2，故r(A)≤3－2＝1，但A≠O(若A＝O，则AX＝b无解与题设矛盾)，故必有r(A)≥1，所以r(A)＝1，仅(C)成立。
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