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设有n元实二次型(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ1＋a2χ3)2＋…＋(χn-1＋an-1χn)2＋(χn＋anχ1)2，其中ai(i＝1，2，…n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(χ1，χ2，…，χn)为
设有n元实二次型(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)2＋(χ1＋a2χ3)2＋…＋(χn-1＋an-1χn)2＋(χn＋anχ1)2，其中ai(i＝1，2，…n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(χ1，χ2，…，χn)为
admin
2017-05-24
78
问题
设有n元实二次型(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)＝(χ
1
＋a
1
χ
2
)
2
＋(χ
1
＋a
2
χ
3
)
2
＋…＋(χ
n-1
＋a
n-1
χ
n
)
2
＋(χ
n
＋a
n
χ
1
)
2
，其中a
i
(i＝1，2，…n)为实数，试问：当a
1
，a
2
，…，a
n
满足何种条件时，二次型f(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)为正定二次型。
选项
答案
由题设条件可知，对于任意的χ
1
，χ
2
，…，χ
n
，有f(χ
1
，χ
2
，…，χ
n
)≥0，其中等号当且仅当 [*] 同时成立。上述方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 [*] 所以，当1＋(－1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0时，对应任意的不全为零的χ
1
，χ
2
，…．χ
n
，有f(χ
1
，χ
2
，…χ
n
)＞0．即当a
1
a
2
…a
n
≠(－1)
n
时，此时二次型f(χ
1
，χ
2
…χ
n
)为正定二次型。
解析
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本试题收录于：
数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
0
数学学科知识与教学能力
教师资格
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