设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与1／2之和，求f(x)．

admin2018-06-14 77

问题设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域R_t={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与1／2之和，求f(x)．

选项

答案(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 [*] 而相应的曲边梯形的面积∫₀^tf(x)dx．见图6．2．按题意 [*] 即∫₀^tf²(x)dx=2[∫₀^tf(x)dx]²+∫₀^tf(x)dx (x≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①[*]f²(t)=4f(t)∫₀^tf(x)dx+f(t) [*]f(t)=4∫₀^tf(x)dx+1 ② (①中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)． f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t=0得 [*] (Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘μ(t)=e^－∫4dt[*]e^－4t得[f(t)e^－4t]’=0，并由初始条件得f(t)=e^4t，即f(x)=e^4x．

解析

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考研数学一

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设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与1／2之和，求f(x)．

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