设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；

admin2020-04-30 24

问题设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A²+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
求A的全部特征值；

选项

答案设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则 Aα=λα (α≠0)，A²α=λ²α，于是 (A²+2A)α=(λ²+2λ)α，由条件A²+2A=O推知 (λ²+2λ)α=0．又由于α≠0，故 λ²+2λ=0．解得 λ=-2，λ=0．因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)=2，所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为 λ₁=λ₂=-2，λ₃=0．

解析本题主要考查实对称矩阵特征值的求法及正定矩阵的判定方法．利用A²+2A=O及r(A)=2，求出A的特征值．利用第一问的结果，求出A+kE的特征值，当其特征值均大于零时，A+kE为正定矩阵．

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