设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

admin2019-05-11 68

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得P₁^TAP₁=E．作B₁=P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P=P₁Q，则 P^TAP=Q^TP₁^TAP₁Q=E，P^TBP=Q^TP₁^TBP₁Q=Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E+εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1+ελ_i＞0，i=1，2，…，n．于是E+εP^TBP正定，P^T(A+εB)P=E+εP^TBP，因此A+εB也正定．

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/z8V4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A+εB仍是正定矩阵．

考研数学二

设函数f(χ)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．

设f(χ)在χ＝0的某邻域内有连续导数，且＝2，求f(0)及f′(0)．

设g(χ)在[a，b]上连续，且f(χ)在[a，b]上满足f〞(χ)＋g(χ)f′(χ)－f(χ)＝0，又f(a)＝f(b)＝0，证明：f(χ)在[a，b]上恒为零．

设A是三阶实对称矩阵，且A2＋2A＝O，r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，A＋kE为正定矩阵?

设向量α＝(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A＝ααT．(1)求方程组AX＝0的通解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

求方程组的通解．

设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)所确定，其中厂是可微函数，计算并化成最简形式．

设一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]存在原函数；④f(x)在[a，b]可导。若用“P=>Q”表示可由性质P推出性质Q，则有()

政策规划与政策设计的联系与区别。

片剂中加入的崩解剂是

小剂量阿司匹林预防血栓形成的作用机制是

二尖瓣狭窄的最重要体征是

无形资产的摊销年限不得低于______年。()

《人民币利率管理规定》中指出，中长期贷款(期限在1年以上)利率实行()年一定。

用“综合业务数字网”(又称“一线通”)接入因特网的优点是上网通话两不误，它的英文缩写是______。

Thepossiblereasonforcommercialbankstoholdexcessreservesis______.

WhatmakesAmericansspendnearlyhalftheirfooddollarsonmealsawayfromhome?TheanswerslieinthewayAmericanslivetod