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设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )
设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )
admin
2019-02-18
53
问题
设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )
选项
A、Q=AB-BA．
B、P=A
T
B(B-B
T
)A．
C、R=BAB．
D、W=BA-2AB．
答案
D
解析
因(BA-2AB)
T
=(BA)
T
-2(AB)
T
=A
T
B
T
-2B
T
A
T
=-AB+2BA，它不是对称矩阵，故它不一定能化成对角矩阵，当然就不一定能用正交变换化为对角矩阵．故选D．
只有实对称矩阵才可以用正交矩阵进行相似对角化．
对于选项A，
Q
T
=(AB-BA)
T
=(AB)
T
-(BA)
T
=B
T
A
T
-A
T
B
T
=AB-BA=Q，
Q为实对称矩阵，可用正交变换进行相似对角化，故排除A．
同理，对于选项B，
P=A
T
B(B-B
T
)A=2A
T
B
2
A，P
T
=(2A
T
B
2
A)
T
=2A
T
(B
2
)
T
A=2A
T
(B
T
)
2
A=2A
T
B
2
A=P，
P为实对称矩阵，故排除B．
选项C，
R
T
=(BAB)
T
=B
T
A
T
B
T
=-BA(-B)=BAB=R，
R为实对称矩阵，故排除C．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/z4M4777K
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考研数学一
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