2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝2f(χ)dχ，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．

设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝2f(χ)dχ，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．

admin2019-01-13  66
问题 设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且＝0，又f(2)＝2f(χ)dχ，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．
选项
答案由[*]＝0，得f(1)＝－1， 又[*] 所以f′(1)＝0 由积分中值定理得f(2)＝2[*]f(χ)dχ＝f(c)，其中c∈[1，[*]] 由罗尔定理，存在χ0∈(c，2)[*](1，2)，使得f′(χ0)＝0． 令φ(χ)＝eχf′(χ)，则φ(1)＝φ(χ0)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(1，χ0)[*](0，2)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝eχ[f′(χ)＋f〞(χ)]且eχ≠0，所以f′(ξ)＋f〞(ξ)＝0．
解析
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考研数学二

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