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  3. 设A为n阶方阵，且A﹢E与A－E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

设A为n阶方阵，且A﹢E与A－E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

admin2019-01-22  24
问题 设A为n阶方阵，且A﹢E与A－E均可逆，则下列等式中不成立的是(    )
选项 A、(A﹢E)2(A－E)﹦(A－E)(A﹢E)2
B、(A﹢E)－1(A－E)﹦(A－E)(A﹢E)－1
C、(A﹢E)T(A－E)﹦(A－E)(A﹢E)T
D、(A﹢E)(A－E)*﹦(A－E)*(A﹢E)
答案C
解析 由A与E可交换得，A﹢E与A－E可交换，进而可得
    (A﹢E)2(A－E)﹦(A﹢E)(A－E)(A﹢E)﹦(A－E)(A﹢E)2，所以(A﹢E)2与A－E可交换，故A项成立。
    由A﹢E与A－E可交换得，(A－E)(A﹢E)﹦(A﹢E)(A－E)。在等式两边同时左乘、右乘(A﹢E)－1得，(A﹢E)－1(A－E)﹦(A－E)(A﹢E)－1；在等式两边同时左乘、右乘(A－E)－1得，(A﹢E)(A－E)－1﹦(A－E)－1(A﹢E)，再在所得等式两边同时乘｜A－E｜得，(A﹢E)(A－E)*﹦(A－E)*(A﹢E)。故B、D两项成立。
    事实上，只有当ATA﹦AAT时，(A﹢E)T(A－E)﹦(A－E)(A﹢E)T才成立。而ATA﹦AAT不一定成立。例如，因此AT≠AAT。故本题选C。
本题考查矩阵乘法的性质。矩阵乘法不满足交换律，但有些矩阵之间是可交换的。本题的实质是判断每个选项包含的两个矩阵是否可交换。
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