设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立 f(tx，ty)=t2f(x，y)．证明：

admin2016-07-22 59

问题设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立
f(tx，ty)=t²f(x，y)．
证明：

选项

答案方程f(tx，ty)=t²f(x，y)两边对t求导得 xf’₁(tx，ty)+yf’₂(tx，ty)=2tf(x，y)，再对t求导得， x[sf’’₁₁(tx,ty)+yf’’₁₂(tx，ty)]+y[xf"₂₁(tx，ty)+yf’’₂₂(tx，ty)]=2f(x，y) 于是 tx[txf’’₁₁(tx,ty)+tyf’’₁₂(tx，ty)]+ty[txf’’₂₁(tx，ty)+tyf’’₂₂(tx，ty)]=2t²f(x，y)=2f(tx，ty) 由此得x²f’’_xx(x，y)+2xyf’’_xy(x，y)+y²f’’_yy(x，y)=2f(x，y).即结论成立.

解析

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