2. 考研
  3. 设f(x)连续，且满足f(x)=x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。 验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1；

设f(x)连续，且满足f(x)=x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。 验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1；

admin2017-11-30  27
问题 设f(x)连续，且满足f(x)=x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。
验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1；
选项
答案将x=0代入原方程可得f(0)=0，将f(x)变形整理为 f(x)=x+2∫0x(1一et－x)f(t)dt=x+2∫0xf(t)dt一2e－x∫0xetf(t)dt， 则f’(x)=1+2e－x∫0xetf(t)dt， 将x=0代入上式可得f’(0)=1。 再在等式两边同时乘以ex可得 exf’(x)=ex+2∫0xetf(t)dt， 求导可得exf’(x)+exf’’(x)=ex+2exf(x)， 即f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1。
解析
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考研数学二

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