若A，B均为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，r(A)=r(B)，证明：A，B必为相似矩阵．

admin2018-08-22 67

问题若A，B均为n阶矩阵，且A²=A，B²=B，r(A)=r(B)，证明：A，B必为相似矩阵．

选项

答案由A²=A，可知A的特征值为0或1，对应于0，1的线性无关的特征向量的个数分别为n-r(0E-A)与n-r(1E-A)．又由于A²一A=O，即A(A—E)=O，则r(A)+r(A—E)≤n，于是A的线性无关的特征向量的总个数为 n-r(0E-A)+n-r(1E—A)=2n一[r(一A)+r(E-A)]≥2n一n=n，故A有n个线性无关的特征向量，则A可相似对角化．同理，B的特征值为0或1，可相似对角化，且由题设，r(A)=r(B)，可知A，B有完全相同的特征值，即A，B相似于同一对角矩阵．故A，B必相似．

解析

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考研数学二

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