已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3-2A2，则r(B)=( )

admin2020-03-02 38

问题已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A³-2A²，则r(B)=( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、不能确定。

答案A

解析因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得

于是
P^-1BP=P^-1(A³-2A²)P=P^-1A³P-2P^-1A²P=(P^-1AP)³-2(P^-1AP)²

则矩阵B的三个特征值分别为0，0，-1，故r(B)=1。所以选A。

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