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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
admin
2019-07-16
81
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
．由于α，β正交且为单位向量，即α
T
α=1，β
T
β=1，α
T
β=β
T
α=0，所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α， αβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=β， 于是λ
1
=2，λ
2
=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2， 所以λ
3
=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/xNJ4777K
0
考研数学三
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