设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-07-16 102

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案记矩阵A=2αα^T+ββ^T．由于α，β正交且为单位向量，即α^Tα=1，β^Tβ=1，α^Tβ=β^Tα=0，所以 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α， αβ=(2αα^T+ββ^T)β=β，于是λ₁=2，λ₂=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)≤2，所以λ₃=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学三

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意．记B=(α3，α2，α1，β一α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解．

设图形(a)，(b)，(c)如下：从定性上看，若函数f(x)在[0，1]内可导，则y=f(x)，y=∫0xf(t)dt与y=f’(x)的图形分别是

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．

设矩阵为A*对应的特征向量．判断A可否对角化．

设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，－a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1－a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

领导决策涉及多种要素，其中在决策系统内处于核心主导地位的是【】

借款人因经营、管理或是财务状况等方面存在问题而形成的不良贷款，银行可以采取的不良资产处置方式是()。

中国公民因私事出境，应当向()申请护照。

卉卉平时很优秀，口才也很好，可是一当众讲话就会害羞脸红、局促不安、尴尬、笨拙、迟钝，不敢抬头与别人对视。她的这种心理状况是一种()。

为了维护政令一致，凡下行公文（）。

根据我国法律的有关规定，下列情形中不能减轻或免除法律责任的是()

一艘轮船发生漏水事故，堵塞漏洞后开始抽水，现有1、2、3号三台抽水机，已知单独用一台抽水机抽完积水的话，1号用4h，2号用3h，3号用2h，现在先用1号和2号抽水30min，然后关闭1号而开启3号，则抽完积水还需()min．

向万容芳发一个E-mail，并将考生文件夹下的一个文本文件mynle．txt作为附件一起发出。具体如下：收件人为：wanrf@bjl63．com；主题为：投稿；函件内容为：“万编辑：你好，寄上文稿一篇，见附件，请审阅。”

IfIhadn’tappliedforscholarship,hardly______(能够完成学业)

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设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意．记B=(α3，α2，α1，β一α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解．

设图形(a)，(b)，(c)如下：从定性上看，若函数f(x)在[0，1]内可导，则y=f(x)，y=∫0xf(t)dt与y=f’(x)的图形分别是

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

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设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，－a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1－a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．

设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)=n．

设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

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