设f(x)∈C[-π，π]，且f(x)=x/(1+cos2x)+∫-ππf(x)sinxdx，求f(x)．

admin2022-10-25 77

问题设f(x)∈C[-π，π]，且f(x)=x/(1+cos²x)+∫_-π^πf(x)sinxdx，求f(x)．

选项

答案令∫_-π^πf(x)sinxdx=A，则f(x)=x/(1+cos²x)+A，于是f(x)sinx=xsinx/(1+cos²x)+Asinx，两边从-π到π积分得A=∫_-π^πxsinx/(1+cos²x)dx=2∫₀^πxsinx/(1+cos²x)dx=π∫₀^πsinx/(1+cos²x)dx=-πarctan(cosx)｜₀^π=π²/2，则f(x)=x/(1+cos²x)+π²/2．

解析

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考研数学三

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