设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

admin2012-03-22 79

问题设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

选项

答案将方程看成关于x的恒等式，两端对x求导数得 y’lny+y’-1+y’=0，整理得 y’(2+lny)=1， (*) 在(*)式中令x=l，y=1可得y’(1)=1/2．将(*)式两端再对x求导数，得 y"(2+lny)+y’.y’/y=0 y"=-(y’)²/y(2+lny)．在上式中令x=1，y=1,y’=1/2即得y"(1)=-1/8<0．由y“(x)的连续性知存在x=1的一个邻域，在此邻域中y"(x)<0，即曲线y=y(x)在点(1，1)附近是凸弧．

解析

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