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  3. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题 ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解； ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解． 其中正确的是 (

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题 ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解； ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解． 其中正确的是 (

admin2021-10-08  18
问题 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题
①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；        ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；
③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；    ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．
其中正确的是    (    )
选项 A、①④
B、①②
C、②③
D、③④
答案B
解析 当Anx=0时，易知n+1x=A(Anx)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．
    当An+1x=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，…，Anx均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，Anx是线性无关(按定义证，依次乘以An，An－1 ，…，A即可证得)的．由于x，Ax，…，Anx均为n维向量，而n+1个n维向量必定是线性相关的，矛盾．故假设不成立，因此必有Anx=0．可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误．故选B．
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考研数学一

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