设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

admin2016-02-27 79

问题设向量α₁，α₂，…，α_r是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_r线性无关．

选项

答案对于抽象向量组的线性相关性的证明常用定义证之．注意到待证线性无关的向量组可以看成是一组可以写成另一组向量β，α₁，α₂，…，α_n的线性组合的向量组．如能证明β₁，α₁，α₂，…，α_n线性无关，也可用矩阵表示法证之．证一设有一组数k，k₁，k₂，…，k_r，使 [*] 则有 [*] 上式两边同时左乘A，有 [*] 而Aβ≠0，故必须有 [*] 把式②代入式①得 [*] 由于α₁，α₁，…，α_r为Ax=0的基础解系，α₁，α₂，…，α_r必线性无关，故 k₁=k₂=…一k_r=0． ③ 将式③代入式②得k=0，故向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_r线性无关．证二用矩阵表示法证之．先证α₁，α₂，…，α_n，β线性无关，可用反证法证之．如果α₁，α₂，…，α_n，β线性相关，而α₁，α₂，…，α_n线性无关，故β可由α₁，α₂，…，α_n线性表示．设 β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n．在上式两端左乘A，得到 Aβ=k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_nAα_n=0+0+…+0=0．这与Aβ≠0矛盾，故α₁，α₂，…，α_n，β线性无关．又因 [*] =[β，α₁，α₂，…，α_n]K．显然∣K∣=1≠0，故β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_n线性无关．

解析

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考研数学二

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设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．

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