设A是m×n实矩阵，AT是A的转置矩阵，证明方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0是同解方程组．

admin2016-10-20 101

问题设A是m×n实矩阵，A^T是A的转置矩阵，证明方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A^TAx=0是同解方程组．

选项

答案如果α是(Ⅰ)的解，那么Aα=0，而A^TAα=A^T0=0，可见α是(Ⅱ)的解．如果α=(a₁，a₂，…，a_n)^T是(Ⅱ)的解，即A^TAα=0，则α^TA^TAα=0[*](Aα)^T(Aα)=0．不妨设 Aα=(b₁，b₂，…，b_m)^T，则 (Aα)^T(Aα)=b₁²+b₂²+…+b_m²=0．从而b₁=b₂=…=b_m=0，即Aα=0，所以(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此，(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解方程组．

解析所谓方程组同解即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解，显然本题的难点是如何证(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．

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