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  3. 设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， 试证： r(A)=2；

设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， 试证： r(A)=2；

admin2020-04-30  25
问题 设3阶方阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，
试证：
r(A)=2；
选项
答案由于α3=α1+2α2知r(A)＜3，所以0是A的一个特征值，又由于A的3个特征值各不相同，故A可对角化，且A有两个非零特征值，从而r(A)=2．所以Ax=0的基础解系只有一个线性无关的解向量．
解析 本题考查向量组线性相关和矩阵特征值的概念和性质，矩阵相似对角化的条件以及非齐次线性方程组通解的结构．
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考研数学一

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