2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．

设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．

admin2017-12-18  64
问题 设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．
选项
答案令φ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，φ(0)=0， φ’(x)=2f(x)∫0xf(t)dt－f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]． 再令h(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)，h(0)=0，h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]． 由f(0)=0，0＜f’(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)， 则h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(0＜x≤1)， [*] 于是φ(1)＞0，即[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．
解析
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考研数学二

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