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设曲线L:y=y(x)满足:y’-∫0xy(t)dt=0,且y(0)=1. (Ⅰ)求y=y(x); (Ⅱ)求曲线段y=y(x)(-1≤x≤1)的弧长; (Ⅲ)求曲线段y=y(x)(-1≤x≤1)绕x=1旋转一周所得旋转体的体积.
设曲线L:y=y(x)满足:y’-∫0xy(t)dt=0,且y(0)=1. (Ⅰ)求y=y(x); (Ⅱ)求曲线段y=y(x)(-1≤x≤1)的弧长; (Ⅲ)求曲线段y=y(x)(-1≤x≤1)绕x=1旋转一周所得旋转体的体积.
admin
2021-03-18
78
问题
设曲线L:y=y(x)满足:y’-∫
0
x
y(t)dt=0,且y(0)=1.
(Ⅰ)求y=y(x);
(Ⅱ)求曲线段y=y(x)(-1≤x≤1)的弧长;
(Ⅲ)求曲线段y=y(x)(-1≤x≤1)绕x=1旋转一周所得旋转体的体积.
选项
答案
(Ⅰ)由y’-∫
0
x
y(t)dt=0得y"-y=0, 特征值为λ
1
=-1,λ
2
=1,则y"-y=0的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
x
; 由y(0)=1,y’(0)=0得C
1
=C
2
=[*] 故[*] (Ⅱ)所求的曲线段的长度为 [*] (Ⅲ)取[x,x+dx][*][-1.1], dV=2π(1-x)·y·dx=2π(1-x)·[*]·dx=π(1-x)(e
x
+e
-x
)dx, 则 V=π∫
-1
1
(1-x)(e
x
+e
-x
)dx=π∫
-1
1
(e
x
+e
-x
)dx =2π∫
0
1
(e
x
+e
-x
)dx=2π(e-[*]).
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/vsy4777K
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考研数学二
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