求I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是上半椭球面+z2=1(z≥0)取上侧．

admin2016-10-26 49

问题求I=

(x²－y²)dydz+(y²－z²)dzdx+(z²－x²)dxdy，S是上半椭球面

+z²=1(z≥0)取上侧．

选项

答案易求S在xy平面上的投影区域D：[*]≤1．于是 [*] 这里，D关于x，y轴均对称，[*]对x是奇函数，[*]对y也是奇函数，就有 [*] 现归结为求 [*] 其中D₁=D∩{x≥0，y≥0}．用极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，则 [*] 于是 [*] 由对称性(将x，y互换，同时a，b也互换，D不变)[*]dxdy． [*] 因此 I=abπ－[*]π(2－a²)．

解析

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考研数学一

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