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  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e—f(y)dy≥1．

设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e—f(y)dy≥1．

admin2021-08-02  59
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e—f(y)dy≥1．
选项
答案方法一 显然积分区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)． 记I=∫01ef(x)dx∫01ef(y)dy=[*]由对称性，知 [*] 方法二 由泰勒公式知，对任意的x∈R，恒有 [*](其中ζ介于0和x之间)， 所以，有ef(x)—f(y)≥1+f(x)一f(y)．从而 ∫01ef(x)dx∫01ef(y)dy≥∫01dx∫01[1+f(x)—f(y)]dy =1+∫01dx∫01f(x)dy—∫01dx∫01f(y)dy=1.
解析
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考研数学二

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