设随机变量X～N(0，1)，求Y＝e3X＋1的概率密度．

admin2016-01-25 37

问题设随机变量X～N(0，1)，求Y＝e^3X＋1的概率密度．

选项

答案因X～N(0，1)，故X的概率密度为 φ(x)＝[*]e^－x²／2，一∞＜x＜＋∞．因Y＝e^3X＋1，故y＝e^3x＋1为单调增加函数．而 [*] 故y的概率密度函数为 [*]

解析若X的概率密度为f_X(x)，随机变量Y＝φ(X)的概率密度f_Y(y)的求法如下．
(1)若φ′(x)＞0即y＝φ(x)为单调增加函数，则
f_Y(y)＝f_X[φ^－1(y)][φ^－1(y)]′，
其中x＝φ^－1(y)是y＝φ(x)的反函数．
(2)若φ′(x)＜0即y＝φ(x)为单调减少函数，则
f_Y(y)＝－f_X[φ^－1(y)][φ^－1(y)]′，
其中x＝φ^－1(y)为y＝φ(x)的反函数．
上述两种情况可合并为
f_Y(y)＝f_X[φ^－1(y)][φ^－1(y)]′｜．

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