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设f’(x)=[φ(x)]2,其中φ(x)在(-∞,+∞)内恒为负值,其导数φ’(x)为单调减函数,且φ’(x0)=0,则下列结论正确的是[ ].
设f’(x)=[φ(x)]2,其中φ(x)在(-∞,+∞)内恒为负值,其导数φ’(x)为单调减函数,且φ’(x0)=0,则下列结论正确的是[ ].
admin
2016-03-01
63
问题
设f’(x)=[φ(x)]
2
,其中φ(x)在(-∞,+∞)内恒为负值,其导数φ’(x)为单调减函数,且φ’(x
0
)=0,则下列结论正确的是[ ].
选项
A、y=f(x)所表示的曲线在(x
0
,f(x
0
))处有拐点
B、x=x
0
是y=f(x)的极大值点
C、曲线y=f(x)在(一∞,+∞)上是凹的
D、f(x
0
)是f(x)在(一∞,+∞)上的最大值
答案
A
解析
因φ(x)在(一∞,+∞)内恒为负值,所以f’(x
0
)=[φ(x
0
)]
2
≠0,由取得极值的必要条件,x
0
一定不是f(x)的极值点,故不选(B);又如果f(x)的最值点x
0
在开区间(一∞,+∞)内取得,则x
0
一定是极值点,由上面的分析知,x
0
一定不是f(x)的极值点,故不选(D).
f"(x)=2φ(x)φ’(x).由题设φ(x)=0得f"(x
0
)=2φ(x
0
)φ(x
0
)=0.又因为φ’(x)是单调递减函数,φ(x)<0,所以,当x∈(一∞,x
0
)时f"(x)<0;当x∈(x
0
,+∞)时f"(x)>0.这表明(x
0
,f(x
0
))是曲线y=f(x)的拐点.
故选(A).
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