已知f(x)是微分方程xf’(x)一f(x)=满足初始条件f(1)=0的特解，则∫01f(x)dx=________．

admin2016-12-16 71

问题已知f(x)是微分方程xf’(x)一f(x)=

满足初始条件f(1)=0的特解，则∫₀¹f(x)dx=________．

选项

答案[*]

解析按一般的思路先求出f(x)后再积分，但由于求f(x)计算量较大，可充分利用所给的有关信息，不用求f(x)而直接求出∫₀¹ f(x) dx．
先用分部积分法得到
∫₀¹f (x) dx=xf (x)|₀¹一∫₀¹xf ’(x) dx=一∫₀¹[f (x)+

]dx
=一∫₀¹f (x) dx—∫₀¹

故
∫₀¹f(x)dx=

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