2. 考研
  3. (1999年)假设二维随机变量(X，Y)在矩形G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。记 (Ⅰ)求U和V的联合分布； (Ⅱ)求U和V的相关系数r。

(1999年)假设二维随机变量(X，Y)在矩形G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。记 (Ⅰ)求U和V的联合分布； (Ⅱ)求U和V的相关系数r。

admin2021-01-25  102
问题 (1999年)假设二维随机变量(X，Y)在矩形G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。记

(Ⅰ)求U和V的联合分布；
(Ⅱ)求U和V的相关系数r。
选项
答案(Ⅰ)由题知U和V均服从0-1分布， P{U=0}=P{X≤Y}，P{U=1}=P{X＞Y}， P{V=0}=P{X≤2Y}，P{V=1}=P{X＞2Y}。 二维随机变量(X，Y)在矩形G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布(根据二维均匀分布的性质，各部分所占的概率是其面积与总面积之比)。 所以，如图所示。 [*] P{X≤Y}=SD1／S总=[*] P{X＞2Y}=SD3／S总=[*] P{Y＜X≤2Y}=1-P{X≤Y)-P{X＞2Y}=[*] (U，V)有四个可能值：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。 P{U=0，V=0}=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y}=[*] P{U=0，V=1}=P{X≤Y，X＞2Y)=[*]=0， P{U=1，V=0)=P{X＞Y，X≤2Y}=P{Y＜X≤2Y}=[*] P{U=1，V=1)=P{X＞Y，X＞2Y)=P{X＞2Y}=[*] 因此可得U和V的联合分布为 [*] (Ⅱ)由第(Ⅰ)问可得U和V的分布律分别为 [*] P{UV=0}=P{U=0，V=0}+P{U=1，V=0)+P{U=0，V=1} [*] 因此可得UV的分布律为 [*] 所以 D(U)=E(U2)-EE(U)]2=[*] D(V=E(V2)-[E(V)]2=[*] 故 [*]
解析
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考研数学三

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