已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明： aijAT=E，且｜A｜=1；

admin2019-04-22 105

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明：
a_ij

A^T=E，且｜A｜=1；

选项

答案当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E。由于A^*为n阶非零实矩阵(a_ij不全为零)，所以tr(A^tA)=[*]a_ij²＞0，而tr(A^TA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0。在A^TA =｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，从而｜A｜=1。反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=A^TA，于是A^T=A^*，即a_ij=A_ij。

解析

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