2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αn为Rn的一组基，β1=aα1+bα2，β2=aα2+bα3，…，βn-1=aαn-1+bαn，βn=aαn+bα1． (I)若β1，β2，…，βn也为Rn的一组基，则a，b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β1，

设α1，α2，…，αn为Rn的一组基，β1=aα1+bα2，β2=aα2+bα3，…，βn-1=aαn-1+bαn，βn=aαn+bα1． (I)若β1，β2，…，βn也为Rn的一组基，则a，b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β1，

admin2020-09-23  24
问题 设α1，α2，…，αn为Rn的一组基，β1=aα1+bα2，β2=aα2+bα3，…，βn-1=aαn-1+bαn，βn=aαn+bα1．
(I)若β1，β2，…，βn也为Rn的一组基，则a，b应满足什么条件?
(Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若任意3维列向量γ在基α1，α2，α3下的坐标为(2，2，2)，求γ在基β1，β2，β3下的坐标．
选项
答案(I)(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)[*](α1，α2，…，αn)C， 若β1，β2，…，βn是Rn的一组基，则β1，β2，…，βn线性无关，而β1，β2，…，βn线性无关[*]=an+(一1)n+1bn≠0，故当a，b满足an+(一1)n+1bn≠0时，β1，β2，…，βn也为Rn的一组基． (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，由(I)知 (α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)C-1， C-1即为从基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵，下面求C-1． [*] 故所求过渡矩阵 [*] (Ⅲ)由已知条件知 [*] 考虑到(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)C-1，则 [*] 故γ在基β1，β2，β3下的坐标为(1，1，1)．
解析
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考研数学一

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