三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y32，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．

admin2017-09-15 72

问题三元二次型f＝X^TAX经过正交变换化为标准形f＝y₁²＋y₂²－2y₃²，且A^*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α₁＝

，求此二次型．

选项

答案因为f＝X^TAX经过正交变换后的标准形为f＝y₁²＋y₂²－2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝2．由｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝－2得A^*的特征值为μ₁＝μ₂＝2，μ₃＝1，从而A^*＋2E的特征值为0，0，3，即α₁为A^*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃＝－2的特征向量．令A的属于特征值λ₁＝λ₂＝1的特征向量为α＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α₁^Tα＝0，即χ₁＋χ₃＝0故矩阵A的属于λ₁＝λ₂＝1的特征向量为 [*] 所求的二次型为 f＝X^TAX＝－[*]χ₁²＋χ₂²－[*]χ₃²－3χ₁χ₃．

解析

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考研数学二

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