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设A是n阶反对称矩阵,A*为A的伴随矩阵. 证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*为对称矩阵;
设A是n阶反对称矩阵,A*为A的伴随矩阵. 证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*为对称矩阵;
admin
2016-12-09
76
问题
设A是n阶反对称矩阵,A
*
为A的伴随矩阵.
证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A
*
为对称矩阵;
选项
答案
由反对称矩阵定义知,A
T
=一A,故 |A|=|A
T
|=|—A|=(一1)
n
|A|,即[1一(一1)
n
]|A|=0.若n=2k+1,必有|A|=0,所以A可逆的必要条件是n为偶数.因A
T
=一A,由(A
*
)
T
= (A
T
)
*
有 (A
*
)
T
=(A
T
)
*
=(一A)
*
. 又因(kA)
*
=k
n-1
A
*
,故当n=2k+1时,有 (A
*
)
T
=(一A)
*
=(一1)
n-1
A
*
=(一1)
2k
A
*
=A
*
,即A
*
是对称矩阵.
解析
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考研数学二
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