设A是n阶反对称矩阵，A为A的伴随矩阵．证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A为对称矩阵；

admin2016-12-09 58

问题设A是n阶反对称矩阵，A^*为A的伴随矩阵．
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A^*为对称矩阵；

选项

答案由反对称矩阵定义知，A^T=一A，故｜A｜=｜A^T｜=｜—A｜=(一1)ⁿ｜A｜，即[1一(一1)ⁿ]｜A｜=0．若n=2k+1，必有｜A｜=0，所以A可逆的必要条件是n为偶数．因A^T=一A，由(A^*)^T= (A^T)^*有 (A^*)^T=(A^T)^*=(一A)^*．又因(kA)^*=k^n-1A^*，故当n=2k+1时，有 (A^*)^T=(一A)^*=(一1)^n-1A^*=(一1)^2kA^*=A^*，即A^*是对称矩阵．

解析

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