2. 考研
  3. 设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1，3，0，2)T，α2=(1，2，-1，3)T．Bx=0的基础解系为β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T． 若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1，3，0，2)T，α2=(1，2，-1，3)T．Bx=0的基础解系为β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T． 若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．

admin2017-10-25  60
问题 设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1，3，0，2)T，α2=(1，2，-1，3)T．Bx=0的基础解系为β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T．
若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．
选项
答案(Ⅰ)假设可以，即β=k1α1+k2α2+k3α3，则(k1，k2，k3，0)T是Ax=β的解． 从而(k1，k2，k3，0)T-(-1，1，0，2)T=(k1+1，k2-1，k3，-2)T就是Ax=0的解． 但是显然(k1+1，k2-1，k3，-2)T和(1，-1，2，0)T线性无关． 所以β不可以由α1，α2，α3线性表示． (Ⅱ)因为(-1，1，0，2)T是Ax=β的解，则β=-α1+α2+2α4． 又因为(1，-1，2，0)T是Ax=0的解，则α1-α2+α3=0． 所以，β和α3都可由α1，α2，α4线性表示． 又由R(α1，α2，α3，α4，β)=R(α1，α2，α3，α4)=3，所以，α1，α2，α4是极大无关组．
解析 (Ⅰ)利用反证法；
(Ⅱ)由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系．
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