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设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1,3,0,2)T,α2=(1,2,-1,3)T.Bx=0的基础解系为β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,-3,1,a)T. 若Ax=0和Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.
设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1=(1,3,0,2)T,α2=(1,2,-1,3)T.Bx=0的基础解系为β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,-3,1,a)T. 若Ax=0和Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.
admin
2017-10-25
64
问题
设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α
1
=(1,3,0,2)
T
,α
2
=(1,2,-1,3)
T
.Bx=0的基础解系为β
1
=(1,1,2,1)
T
,β
2
=(0,-3,1,a)
T
.
若Ax=0和Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.
选项
答案
(Ⅰ)假设可以,即β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
,则(k
1
,k
2
,k
3
,0)
T
是Ax=β的解. 从而(k
1
,k
2
,k
3
,0)
T
-(-1,1,0,2)
T
=(k
1
+1,k
2
-1,k
3
,-2)
T
就是Ax=0的解. 但是显然(k
1
+1,k
2
-1,k
3
,-2)
T
和(1,-1,2,0)
T
线性无关. 所以β不可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. (Ⅱ)因为(-1,1,0,2)
T
是Ax=β的解,则β=-α
1
+α
2
+2α
4
. 又因为(1,-1,2,0)
T
是Ax=0的解,则α
1
-α
2
+α
3
=0. 所以,β和α
3
都可由α
1
,α
2
,α
4
线性表示. 又由R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)=R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,所以,α
1
,α
2
,α
4
是极大无关组.
解析
(Ⅰ)利用反证法;
(Ⅱ)由条件所给方程组的解,来确定向量之间的线性关系.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/ukr4777K
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考研数学一
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