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  3. 设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)

设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)

admin2017-05-31  62
问题 设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)<0．
选项
答案由题设知，f(x)在[a，c]和[c，d]上分别满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0． 又f’(x)在[a1，b1]上可导且不恒等于零，所以，必存在点a2∈(a1，b1)，使得f’(a2)＞0，或存在点a3∈(a1，b1)，使得f’(a3)＜0． 当存在a2∈(a1，b1)，使f’(a2)＞0时，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a2，b1)，使得[*] 当存在a3∈(a1,b1)，使f’(a3)＜0时，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a3，b1)，使得[*] 综上可知，存在点ξ∈(a1，b1)[*](a，b)，使得f’’(ξ)<0．
解析 由题设知，可在[a，c]，[c，b]上分别对f(x)用洛尔定理，存在点a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0．但f(x)不恒等于常数，可知f’(x)≠0．从而可知，
f’(x)在[a1，b1]上可导，不恒等于零，且f’(a1)=f’(b1)=0．然后可用拉格朗日中值定理证明存在点ξ∈(a1，b1)，使得f’’(ξ)<0．
为了证明存在点ξ ∈(a，b)，使得f’’(ξ)<0，我们可对f(x)应用拉格朗日中值定理和洛尔定理，再对f’(x)应用拉格朗日中值定理．一般来说，若要从函数f(x)的性质出发去证明其k阶导数f(k)(x)在某点满足指定的要求，需要对f(x)，f’(x)，…，f(k－1)(x)依次运用微分中值定理．
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考研数学一

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