2. 考研
  3. 设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,｜f’(x)｜≤｜f(x)｜,证明：f(x)=0,x∈[0,1].

设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,｜f’(x)｜≤｜f(x)｜,证明：f(x)=0,x∈[0,1].

admin2021-11-25  43
问题 设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,｜f’(x)｜≤｜f(x)｜,证明：f(x)=0,x∈[0,1].
选项
答案因为f(x)在[0,1]上可导，所以f(x)在[0,1]上连续，从而｜f(x)｜在[0,1]上连续，故｜f(x)｜在[0,1]上取到最大值M，即存在x0∈[0,1],使得｜f(x0)｜=M. 当x0=0时，则M=0，所以f(x)=0,x∈[0,1]; 当x0≠0时，M=｜f(x0)｜=｜f(x0)－f(0)｜=｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤[*]｜f(ξ)｜≤[*], 其中ξ∈（0，x0），故M=0，于是f(x)=0,x∈[0,1].
解析
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考研数学二

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