(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和； (Ⅱ)设191，将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和．

admin2019-01-24 55

问题 (Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n是A的分别对应于λ₁，λ₂，…，λ_n的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和；
(Ⅱ)设

191，将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和．

选项

答案(Ⅰ)令Q＝(ξ₁，ξ₂，…，ξ_n)，则Q是标准正交矩阵．且 [*] 其中ξ_iξ_i^T均有，r(ξ_iξ_i^T)＝1，且(ξ_iξ_i^T)^T＝(ξ_i^T)^Tξ_i^T＝ξ_iξ_i^T，i＝1，2，…，n．故A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和． (Ⅱ) [*] ＝(λ＋4)[(λ－3)(λ－4)－2]＝(λ＋4)(λ－2)(λ－5)．故A有特征值λ₁＝－4，λ₂＝2，λ₃＝5． [*] 故 A＝λ₁ξ₁ξ₁^T＋λ₂ξ₂ξ₂^T＋λ₃ξ₃ξ₃^T [*]

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和； (Ⅱ)设191，将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和．

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