设f(x)可导，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=_________．

admin2019-05-14 22

问题设f(x)可导，且∫₀¹[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=_________．

选项

答案f(x)=e^－x

解析由∫₀¹[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫₀¹f(x)dt+∫₀¹f(xt)d(xt)=1．
整理得f(x)+∫₀^xf(μ)dμ=1，两边对x求导得f^’(x)+f(x)=0，
解得f(x)=Ce^－x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e^－x．

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考研数学一

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