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  3. 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：

admin2018-05-21  66
问题 设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：
选项
答案[*] 等价于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(xdx∫01xf2(x)dx， 等价于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01fy2(y)dy，或者 ∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy≥0 令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)－f(y)]dy， 根据对称性，I=∫01dx∫01xf(x)f(y)[f(y)－f(x)]dy， 2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y－x)[f(x)－f(y)]dy， 因为f(x)＞0且单调减少，所以(y－x)[f(x)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0， [*]
解析
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考研数学一

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