(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2013-12-27 134

问题 (1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX=0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常数c₁，c₂，…，c_k，使得c₁α+c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(1)如能证明要使(1)成立，则c₁，c₂，…，c_k全为0即可．由题设已知A^k=0，且A^k-1α≠0，则用A^k-1左乘(1)→c₁A^k-1α=0，从而c₁=0，则(1)式变成c₂Aα+…+c_kA^k-1α=0(2)同理用A^k-1左乘(2)→c₂A^k-1α=0，从而c₂=0．余下以此类推，可证得c₃=c₄=…=c_k=0．因此向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明．

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考研数学一

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(1998年试题，十一)设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

考研数学一

设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是()

设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2…，βs线性表示，则()

设b＞a＞0，证明不等式

设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，并且a＜1．试确定a的值，使S=S1+S2达到最小，并求出最小值．

设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

鼻旁窦包括①、②、③和④四对。

经皮瓣膜球囊扩张术治疗（）

当事人对药品检验机构的检验结果有异议，申请复验应当向负责复验的药品检验机构提交（　　）。

因()的消灭而进行的登记称为注销登记。

根据国际惯例，一般承包商可索赔的费用不包括(　　)。

我国第一个实行的现代学制是__________。

假如你被银监会录用了，同时，商业银行也录用了你，商业银行的待遇比银监会高，你如何选择?

道德风险

A、图书馆B、教室C、医院B

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设f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

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