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  3. 设A为三阶实数对称矩阵，且存在正交矩阵，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩阵B.

设A为三阶实数对称矩阵，且存在正交矩阵，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩阵B.

admin2014-12-09  111
问题 设A为三阶实数对称矩阵，且存在正交矩阵，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩阵B.
选项
答案由QTAQ＝[*]得A的特征值为λ1＝2，λ2＝－1，λ3＝1，且λ1＝2对应的特征向量为[*]． 由AT＝A得BT＝(A2＋2E)T＝(A2)T＋2E＝A2＋2E＝B，即B为实对称矩阵． 显然B的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，且B相应于特征值λ1＝6的特征向量为[*]． 设B的相应于λ2＝λ3＝3的特征向量为[*]，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以ξ1Tξ＝0，即χ1＋χ2＋χ3＝0，于是B的相应于特征值λ2＝λ3＝3的线性无关的特征向量为[*]. [*]
解析
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考研数学二

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