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设A为三阶实数对称矩阵,且存在正交矩阵,使得QTAQ=,又令B=A2+2E,求矩阵B.
设A为三阶实数对称矩阵,且存在正交矩阵,使得QTAQ=,又令B=A2+2E,求矩阵B.
admin
2014-12-09
112
问题
设A为三阶实数对称矩阵,且存在正交矩阵
,使得Q
T
AQ=
,又令B=A
2
+2E,求矩阵B.
选项
答案
由Q
T
AQ=[*]得A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=-1,λ
3
=1,且λ
1
=2对应的特征向量为[*]. 由A
T
=A得B
T
=(A
2
+2E)
T
=(A
2
)
T
+2E=A
2
+2E=B,即B为实对称矩阵. 显然B的特征值为λ
1
=6,λ
2
=λ
3
=3,且B相应于特征值λ
1
=6的特征向量为[*]. 设B的相应于λ
2
=λ
3
=3的特征向量为[*],因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,所以ξ
1
T
ξ=0,即χ
1
+χ
2
+χ
3
=0,于是B的相应于特征值λ
2
=λ
3
=3的线性无关的特征向量为[*]. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/u8bD777K
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考研数学二
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