2. 自考
  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且f(x)dx=0，f(x)cosxdx=0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且f(x)dx=0，f(x)cosxdx=0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2018-09-26  70
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且f(x)dx=0，f(x)cosxdx=0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案引入辅助函数F(x)=[*]f(t)dt，x∈[0，π]，则 F＇(x)=f(x)，F(0)=F(π)=0， 又0=[*]f(x)cosxdx=[*]cosxdF(x)=F(x)cosx[*]F(x)sinxdx=[*]F(x)sinxdx， 因此，必存在－点ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正或恒负，均与[*]F(x)sinxdx=0矛盾，因ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以F(ξ)=0． 综上所述，F(0)=F(ξ)=F(π)=0，ξ∈(0，π)． 在区间[0，π]和[ξ，π]上分别对F(x)应用罗尔定理，知存在ξ1∈(0，ξ)和ξ2∈(ξ，π)，使得F＇(ξ1)=F＇(ξ2)=0，即f(ξ2)=f(ξ2)=0．
解析
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