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设向量组(i)α1=(1,2,一1)T,α2=(1,3,一1)T,α31=(一1,0,a一2)T, (ii)β1=(一1,一2,3)T,β2=(一2,一4,5)T,β3=(1,b,一1)T. 设A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3). 问:(Ⅰ
设向量组(i)α1=(1,2,一1)T,α2=(1,3,一1)T,α31=(一1,0,a一2)T, (ii)β1=(一1,一2,3)T,β2=(一2,一4,5)T,β3=(1,b,一1)T. 设A=(α1,α2,α3),B=(β1,β2,β3). 问:(Ⅰ
admin
2018-03-30
79
问题
设向量组(i)α
1
=(1,2,一1)
T
,α
2
=(1,3,一1)
T
,α
31
=(一1,0,a一2)
T
,
(ii)β
1
=(一1,一2,3)
T
,β
2
=(一2,一4,5)
T
,β
3
=(1,b,一1)
T
.
设A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
).
问:(Ⅰ)a,b为何值时,矩阵A,B等价?a,b为何值时,A,B不等价?
(Ⅱ)a,b为何值时,向量组(i),(ii)等价?a,b为何值时,向量组(i),(ii)不等价?
选项
答案
(Ⅰ)A≌B→r(A)=r(B). 将增广矩阵(A┆B)一起作初等行变换, [*] 当a≠3且b≠2时,r(A)=r(B)=3,A≌B; 当a=3且b=2时,r(A)=r(B)=2,A≌B; 当a=3,b≠2或a≠3,b=2时,r(A)≠r(B),A,B不等价. (Ⅱ)(i)≌(ii)→α
1
,α
2
,α
3
和β
1
,β
2
,β
3
可以相互表出 →(α
1
,α
2
,α
3
)x=β
i
(i=1,2,3),(β
1
,β
2
,β
3
)y=α
i
(i=1,2,3)均有解 →r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,β
i
),i=1,2,3,r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(β
1
,β
2
,β
3
,α
i
),i=1,2,3 →r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
┆β
1
,β
2
,β
3
). 当a≠3且b≠2时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(β
1
,β
2
,β
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
┆β
1
,β
2
,β
3
)=3,(i),(ii)等价; 当a=3时,(α
1
,α
2
,α
3
)x=β
1
(或β
2
)无解,(i),(ii)不等价; 当b=2时,(β
1
,β
2
,β
3
)y=α
2
(或α
3
)无解,(i),(ii)不等价.
解析
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考研数学三
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