求方程x2=xsinx+cosx根的个数；

admin2016-03-30 21

问题求方程x²=xsinx+cosx根的个数；

选项

答案令函数f(x)=x²一xsinx—cosx，则f(x)在x∈R上处处连续且可导 ∵f[*]＞0 ∴在闭区间[*]上分别应用零点定理可知，分别至少存在一点 ξ∈([*]，0)，η∈(0，[*])，使得f(ξ)=0，f(η)=0 即方程x²=xsinx+cosx至少有两个实根又因为f′(x)=x(2－cosx)，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x∈(一∞，0)上单调递减，即当x＜0时，方程x²=xsinx+cosx只有一个实根ξ；当x＞0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x∈(0，+∞)上单调递增，即当x＞0时，方程x²=xsinx+cosx只有一个实根η．综上可知，方程x²=xsinx+cosx仅有两个实根．

解析

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