2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)上连续，若有数列 xn→a，yn→a(n→∞)，xn，yn∈(a，b)， 使得存在，则对A与B之间的任意数μ，必可找到数列zn→a(n→∞)，使f(zn)=μ．

设f(x)在(a，b)上连续，若有数列 xn→a，yn→a(n→∞)，xn，yn∈(a，b)， 使得存在，则对A与B之间的任意数μ，必可找到数列zn→a(n→∞)，使f(zn)=μ．

admin2022-10-31  57
问题 设f(x)在(a，b)上连续，若有数列
    xn→a，yn→a(n→∞)，xn，yn∈(a，b)，
    使得存在，则对A与B之间的任意数μ，必可找到数列zn→a(n→∞)，使f(zn)=μ．
选项
答案若μ=A或μ=B，则取zn=xn或zn=yn即可，不妨设A＜μ＜B．由f(xn)→A(n→∞)说明，当xn充分靠近a时，f(xn)与A无限接近，从而[*]N1＞0，当n≥N1时，f(xn)＜μ．同理知，[*]N2＞0，当n≥N2时，f(yn)＞μ．取N=max{N1，N2}，当n≥N时，有f(xn)＜μ＜f(yn)． 在以xn，yn为端点的闭区间上应用连续函数的介值定理，知有zn介于xn与yn之间，使得[*]f(zn)=μ，而且由xn→a，yn→a，推知zn→a(n→∞)．
解析
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考研数学三

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