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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
admin
2022-11-28
43
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
∵Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α丨α丨
2
+ββ
T
α=2α， ∴α为A的对应于λ
1
=2的特征向量， 又Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
·β+β·丨β丨
2
=β， β为A的对应于λ
2
=1的特征向量． ∵r(A)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=r(α)+r(β)=2＜3， ∴λ
3
=0是矩阵A的特征值， 故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/tRgD777K
0
考研数学三
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