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  3. 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[ ]．

下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[ ]．

admin2016-03-01  54
问题 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[    ]．
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 选项(A)，有三个不同的特征值，所以可以对角化．  
    对于选项(B)，设(B)中矩阵为B，则

矩阵B的特征值为λ1=λ2=0，λ3=4．
  对于二重特征值λ=0，有

r(B—λI)=2，所以齐次线性方程组(B—λI)x=0的基础解系中只有一个向量，即λ=0只有一个线性无关的特征向量，因此B没有3个线性无关的特征向量．从而B不能对角化．
    故选(B)．
    注  选项(C)中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化．
    设选项(D)中的矩阵为D，则

r(D一λI)=1，所以二重特征值λ=0对应于两个线性无关的特征向量，故(D)中的矩阵可以对角化．
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