设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且 Aξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1—ξ2—ξ3，Aξ3=2ξ1—2ξ2—ξ3． (1)求矩阵A的全部特征值； (2)求｜A*+2E｜．

admin2016-10-13 94

问题设A为三阶矩阵，ξ₁，ξ₂，ξ₃是三维线性无关的列向量，且
Aξ₁=一ξ₁+2ξ₂+2ξ₃，Aξ₂=2ξ₁—ξ₂—ξ₃，Aξ₃=2ξ₁—2ξ₂—ξ₃．
(1)求矩阵A的全部特征值；
(2)求｜A^*+2E｜．

选项

答案(1)A(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)[*]，因为ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，所以(ξ₁，ξ₂，ξ₃)可逆，故A～[*]=B．由｜λE一A｜=｜λE一B｜=一(λ+5)(λ一1)²=0，得A的特征值为一5，1，1． (2)因为｜A｜=一5，所以A^*的特征值为1，一5，一5，故A^*+2E的特征值为3，一3，一3．从而｜A^*+2E｜=27．

解析

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考研数学一

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